EduBeam

Елемент ферми ​

Елемент ферми сприймає лише поздовжню силу. У EduBeam немає окремого типу елемента ферми: стрижень ферми — це балковий елемент, у якого позначено обидва кінцеві шарніри; це вилучає згинальні члени й залишає осьову жорсткість, наведену нижче.

LEA
Схема плоского елемента ферми

Ступені вільності ​

Плоский елемент ферми має два ступені вільності в кожному вузлі:

  • Переміщення (Dx): переміщення вздовж осі X.
  • Переміщення (Dz): переміщення вздовж осі Z.

Локальна матриця жорсткості ​

Локальна матриця жорсткості елемента ферми має вигляд:

Kl=(EAL0−EAL00000−EAL0EAL00000)\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \dfrac{EA}{L} & 0 & -\dfrac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1ex] -\dfrac{EA}{L} & 0 & \dfrac{EA}{L} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

де:

  • EE — модуль Юнга матеріалу
  • AA — площа поперечного перерізу стрижня
  • LL — довжина стрижня

Матриця перетворення ​

Матриця перетворення елемента T\mathbf{T} використовується для перетворення локальної матриці жорсткості в глобальну систему координат.

T=(cos⁡(α)sin⁡(α)00−sin⁡(α)cos⁡(α)0000cos⁡(α)sin⁡(α)00−sin⁡(α)cos⁡(α))\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}

Глобальна матриця жорсткості ​

Глобальну матрицю жорсткості Kg\mathbf{K_g} отримують множенням матриці перетворення елемента T\mathbf{T} на локальну матрицю жорсткості Kl\mathbf{K_l}:

Kg=TT⋅Kl⋅T\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}

Результат множення:

Kg=EAl[c2cs−c2−cscss2−cs−s2−c2−csc2cs−cs−s2css2];    c=cos⁡(α)s=sin⁡(α)\mathbf{K_g}={ {EA}\over{l}}\left[\begin{array}{cccc} c^2&cs&-c^2&-cs\\ cs&s^2&-cs& -s^2\\ -c^2&-cs&c^2&cs\\ -cs&-s^2&cs&s^2 \end{array}\right];\;\;\begin{array}{c}c=\cos(\alpha)\\s=\sin(\alpha)\end{array}