EduBeam

Kiriş elemanı ​

EduBeam yalnızca tek bir eleman türü kullanır: x–z düzleminde iki düğümlü bir Timoshenko kirişi. Klasik Euler–Bernoulli kirişinden farkı kayma şekil değiştirmesini de hesaba katmasıdır; bu etki yüksek kesitli veya kısa çubuklarda önemlidir, narin çubuklarda ise ihmal edilebilir. İşaret kabulleri koordinat sistemi ve işaret kabulü sayfasında özetlenmiştir.

LEA
Düzlem Timoshenko kirişinin şeması

Serbestlik dereceleri ​

Düzlem Timoshenko kirişinin her düğümünde üç serbestlik derecesi vardır:

  • Ötelenme (Dx): x ekseni doğrultusunda yer değiştirme.
  • Ötelenme (Dz): z ekseni doğrultusunda yer değiştirme.
  • Dönme (Ry): y ekseni etrafında dönme.

Yükler serbestlik derecelerinin doğrultularında tanımlanır:

  • Yatay kuvvet (Fx): x ekseni doğrultusunda etkiyen kuvvet.
  • Düşey kuvvet (Fz): z ekseni doğrultusunda etkiyen kuvvet.
  • Moment (My): y ekseni etrafında etkiyen moment.

Yerel rijitlik matrisi ​

Kirişin yerel koordinatlardaki rijitlik matrisi şöyledir:

Kl=(EAL00−EAL00012EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−12EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)−EAL00EAL000−12EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)012EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ))\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & \\[2ex] 0 & \dfrac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} &\\[2ex] -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 &\\[2ex] 0 & \dfrac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} \end{pmatrix}

Burada:

  • EE malzemenin elastisite modülü,
  • AA kiriş kesitinin alanı,
  • LL kirişin boyu,
  • IyI_y kesitin y eksenine göre atalet momenti,
  • φ\varphi boyutsuz kayma esnekliği parametresidir:

φ=12 EIyk G A L2\varphi = \frac{12\,E I_y}{k\,G\,A\,L^2}

Burada GG kayma modülü, kk ise kesitin kayma düzeltme katsayısıdır (etkin kayma alanı kAkA). φ→0\varphi \to 0 için (narin kiriş veya çok büyük bir kk) matris, Euler–Bernoulli kirişinin rijitlik matrisine dönüşür.

Uç mafsalları ​

Eleman ucundaki bir mafsal, o uçtaki dönme serbestlik derecesini serbest bırakır: dönme, 6 × 6'lık matristen statik kondensasyonla çıkarılır (o uçta M=0M = 0) ve eleman kalan serbestlik dereceleriyle sisteme eklenir. İki uç da serbest bırakılırsa yalnızca eksenel terimler kalır ve eleman bir kafes çubuğu gibi davranır.

Eleman yükleri ​

Yayılı, tekil ve sıcaklık yükleri eşdeğer düğüm yüklerine feq\mathbf{f}_{eq} (ankastrelik uç kuvvetlerinin ters işaretlisi) dönüştürülür ve global yük vektörüne eklenir. Çözümden sonra eleman boyunca iç kuvvetler, uç yer değiştirmelerinden ve eleman yükünün kesin özel çözümünden elde edilir; bu sayede diyagramlar çubuk boyunca kesindir.

Dönüşüm matrisi ​

Eleman dönüşüm matrisi T\mathbf{T}, yerel rijitlik matrisini global koordinat sistemine dönüştürmek için kullanılır.

T=(cos⁡(α)sin⁡(α)0000−sin⁡(α)cos⁡(α)0000001000000cos⁡(α)sin⁡(α)0000−sin⁡(α)cos⁡(α)0000001)\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Global rijitlik matrisi ​

Global rijitlik matrisi Kg\mathbf{K_g}, eleman dönüşüm matrisi T\mathbf{T} ile yerel rijitlik matrisi Kl\mathbf{K_l}'nin çarpılmasıyla elde edilir:

Kg=TT⋅Kl⋅T\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}