Ergebnisse von Hand prüfen

EduBeam ist ein guter Ort, um die Gewohnheit zu üben, die jede Ingenieurin und jeder Ingenieur braucht: keiner Zahl trauen, die man nicht wenigstens überschlägig nachvollziehen kann. Diese Seite enthält geschlossene Formeln für die klassischen Fälle und zeigt, was die App dafür ausgibt – so können Sie jedes Modell selbst aufbauen und vergleichen.

Vollständig durchgerechnete Beispiele mit Handrechnung finden Sie in den Tutorials Dreigelenkrahmen und ebenes Fachwerk.

Sofern nicht anders angegeben, verwenden alle Fälle denselben Stahlquerschnitt: $E = 210\,000$ MPa, $G = 81\,000$ MPa, $A = 28{,}5$ cm², $I_y = 1943$ cm⁴, $h = 200$ mm, $k = 1$ (ein IPE 200).

$$EI = 210 \times 10^9 \cdot 1{,}943 \times 10^{-5} = 4{,}080 \times 10^6\ \text{Nm}^2$$

Warum die Zahlen leicht abweichen

EduBeam verwendet Timoshenko-Balken, die zur klassischen Biegedurchbiegung nach Euler-Bernoulli einen Schubanteil $\Delta w_s$ hinzufügen. Verdrehungen, Auflagerreaktionen und Schnittgrößen bleiben in statisch bestimmten Fällen davon unberührt. Bei schlanken Stäben ist der Zusatzterm winzig; die Tabellen unten weisen ihn explizit aus.

Einfeldträger unter Gleichlast

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Lager: Knoten 1 Dx + Dz, Knoten 2 Dz.

Größe	Formel	Wert	EduBeam
Auflagerkräfte	$qL/2$	36 kN	36 kN
$V_{max}$	$qL/2$	36 kN	36 kN
$M_{max}$ (Feldmitte)	$qL^2/8$	54 kNm	54 kNm
Endverdrehung	$qL^3/(24EI)$	0,02647 rad	0,02647 rad
Durchbiegung in Feldmitte (Biegung)	$5qL^4/(384EI)$	49,63 mm	—
Durchbiegung in Feldmitte (Schub)	$qL^2/(8kGA)$	0,23 mm	—
Durchbiegung in Feldmitte (gesamt)	Summe	49,86 mm	49,86 mm

Um die Durchbiegung in Feldmitte abzulesen, fügen Sie dort mit Knoten hinzufügen (Maus) → Mit Struktur verbinden einen Knoten hinzu; das Teilen des Elements ändert kein Ergebnis.

Kragträger mit Einzellast am Ende

$L = 4$ m, $F = 18$ kN nach unten am freien Ende. Lager: Knoten 1 Dx + Dz + Ry.

Größe	Formel	Wert	EduBeam
Vertikale Auflagerkraft	$F$	18 kN	18 kN
Einspannmoment	$FL$	72 kNm	72 kNm
Verdrehung am Kragende	$FL^2/(2EI)$	0,03529 rad	0,03529 rad
Durchbiegung am Kragende (Biegung)	$FL^3/(3EI)$	94,11 mm	—
Durchbiegung am Kragende (Schub)	$FL/(kGA)$	0,31 mm	—
Durchbiegung am Kragende (gesamt)	Summe	94,42 mm	94,42 mm

Der Schubanteil beträgt hier 0,3 %. Verkürzen Sie den Kragträger auf 1 m, werden daraus 5 % – genau dafür gibt es den Schubkoeffizienten.

Beidseitig eingespannter Träger unter Gleichlast

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Beide Knoten Dx + Dz + Ry.

Größe	Formel	Wert
Auflagerkräfte	$qL/2$	36 kN
Einspannmoment	$qL^2/12$	36 kNm (Stützmoment, Zug oben)
Feldmoment	$qL^2/24$	18 kNm (Feldmoment, Zug unten)
Durchbiegung in Feldmitte	$qL^4/(384EI) + qL^2/(8kGA)$	9,93 + 0,23 = 10,16 mm

Bauen Sie ihn aus dem Einfeldträger auf, indem Sie an beiden Knoten Ry anhaken, und beobachten Sie, wie sich die Momentenlinie verschiebt.

Einseitig eingespannter Träger unter Gleichlast

$L = 6$ m, $q = 12$ kN/m. Knoten 1 Dx + Dz + Ry, Knoten 2 Dz.

Größe	Formel	Wert
Auflagerkraft an der Einspannung	$5qL/8$	45 kN
Auflagerkraft am Loslager	$3qL/8$	27 kN
Einspannmoment	$qL^2/8$	54 kNm (Zug oben)
Max. Feldmoment	$9qL^2/128$ bei $x = 5L/8$ von der Einspannung	30,4 kNm bei 3,75 m

Die App beschriftet das lokale Extremum automatisch, sodass Sie sowohl den Wert als auch (aus der Lage entlang des Elements) die Stelle ablesen können.

Zweistab-Fachwerk

Zwei Stäbe von Festlagern bei (0, 0) und (4, 0), die sich bei (2, −2) treffen (Spitze 2 m höher), bei beiden Stäben beide Endgelenke angehakt, vertikale Last $F = 20$ kN an der Spitze (nach unten, also Fz = 20).

Jeder Stab ist um 45° geneigt, Länge $L = 2\sqrt{2}$ m. Aus Symmetrie trägt jeder

$$N = -\frac{F}{2 \sin 45^\circ} = -14{,}14\ \text{kN (Druck)}$$

und jedes Lager nimmt 10 kN vertikal und ±10 kN horizontal auf. Prüfen Sie die Darstellung N (x) und die Auflagerreaktionen.

Temperaturgradient am Einfeldträger

$L = 8$ m, $\Delta T_b - \Delta T_t = -10$ K (oben wärmer), $\alpha = 12 \times 10^{-6}$, $h = 0{,}2$ m.

Der Balken kann sich frei krümmen, es entstehen also keine Schnittgrößen; die Krümmung beträgt

$$\kappa = \frac{\alpha\,(\Delta T_b - \Delta T_t)}{h} = \frac{12 \times 10^{-6} \cdot (-10)}{0{,}2} = -6 \times 10^{-4}\ \text{m}^{-1}$$

und die Durchbiegung in Feldmitte $\kappa L^2 / 8 = -4{,}8$ mm (nach oben). Halten Sie nun Ry an beiden Enden: Die Krümmung wird verhindert, und über die ganze Spannweite entsteht ein konstantes Moment $M = EI\kappa = 2{,}45$ kNm.

Vorgegebene Verschiebung

Nehmen Sie den einseitig eingespannten Träger ohne Last und geben Sie am Loslager Dz = 10 mm vor (eine Auflagersenkung). Die Kraft, die nötig ist, um das Ende eines Kragträgers um $w$ nach unten zu drücken, beträgt $R = 3EIw/L^3 = 0{,}567$ kN, das Einspannmoment $RL = 3{,}40$ kNm. Fügen Sie die Gleichlast wieder hinzu, und die Ergebnisse überlagern sich linear.

Tipps für eigene Kontrollen

• Behalten Sie den Einheiten-Chip im Blick; die meisten Abweichungen sind Einheitenfehler.
• Nutzen Sie das Fenster Steifigkeitsmatrix, um ein einzelnes Element mit dem Theoriehandbuch zu vergleichen, wenn Sie das Weggrößenverfahren lernen.
• Lesen Sie exakte Zahlen im Reiter Ergebnisse und in den Tooltips beim Überfahren mit der Maus ab, nicht aus den gerundeten Diagrammbeschriftungen. CSV exportieren oder Kopieren im Reiter Ergebnisse liefert Ihnen auch die Auflagerreaktionen, bereit für eine Tabellenkalkulation.
• Stellen Sie in den Einstellungen das Zahlenformat auf Automatisch, um 40 statt 4 · 10¹ zu lesen.
• Geben Sie ein geprüftes Modell mit Modell teilen an Kollegen oder Lehrende weiter.