EduBeam

Prutový prvek (nosník) ​

EduBeam má jediný prvek: dvouuzlový Timoshenkův nosník v rovině x–z. Na rozdíl od klasického Eulerova–Bernoulliho nosníku zahrnuje vliv smykové deformace, který je podstatný u vysokých nebo krátkých prutů, zatímco u štíhlých prutů je zanedbatelný. Znaménkovou konvenci shrnuje stránka konvence.

LEA
Schéma rovinného Timoshenkova nosníku

Stupně volnosti ​

Rovinný Timoshenkův nosník má v každém uzlu tři stupně volnosti:

  • Posunutí (Dx): posun ve směru osy x.
  • Posunutí (Dz): posun ve směru osy z.
  • Pootočení (Ry): pootočení kolem osy y.

Zatížení zadáváte ve směrech stupňů volnosti:

  • Vodorovná síla (Fx): síla ve směru osy x.
  • Svislá síla (Fz): síla ve směru osy z.
  • Moment (My): moment kolem osy y.

Lokální matice tuhosti ​

Matice tuhosti nosníku v lokálních souřadnicích je

Kl=(EAL00−EAL00012EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−12EIyL3(1+φ)−6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)−EAL00EAL000−12EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)012EIyL3(1+φ)6EIyL2(1+φ)0−6EIyL2(1+φ)(2−φ)EIyL(1+φ)06EIyL2(1+φ)(4+φ)EIyL(1+φ))\mathbf{K_l} = \begin{pmatrix} \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & \\[2ex] 0 & \dfrac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} &\\[2ex] -\dfrac{EA}{L} & 0 & 0 & \dfrac{EA}{L} & 0 & 0 &\\[2ex] 0 & \dfrac{-12 EI_y}{L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{12 EI_y}{ L^3 (1+\varphi)} & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} &\\[3ex] 0 & \dfrac{-6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(2 - \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} & 0 & \dfrac{6 EI_y}{L^2 (1+\varphi)} & \dfrac{(4 + \varphi) EI_y}{L (1+\varphi)} \end{pmatrix}

kde

  • EE je modul pružnosti materiálu,
  • AA je plocha průřezu,
  • LL je délka prutu,
  • IyI_y je moment setrvačnosti průřezu k ose y,
  • φ\varphi je bezrozměrný parametr smykové poddajnosti

φ=12 EIyk G A L2\varphi = \frac{12\,E I_y}{k\,G\,A\,L^2}

kde GG je modul pružnosti ve smyku a kk smykový součinitel průřezu (účinná smyková plocha je kAkA). Pro φ→0\varphi \to 0 (štíhlý prut nebo velmi velké kk) přechází matice v matici tuhosti Eulerova–Bernoulliho nosníku.

Koncové klouby ​

Kloub na konci prvku uvolní příslušné pootočení: to se z matice 6 × 6 vyloučí statickou kondenzací (M=0M = 0 na daném konci) a do soustavy vstupují jen zbývající stupně volnosti. Když uvolníte oba konce, zůstanou jen osové členy a prvek se chová jako příhradový prut.

Prvková zatížení ​

Spojité, osamělé i teplotní zatížení se převádí na ekvivalentní uzlové zatížení feq\mathbf{f}_{eq} (primární koncové síly s opačným znaménkem) a přičte se ke globálnímu vektoru zatížení. Po vyřešení se vnitřní síly po délce prutu dopočítají z koncových posunutí a z přesného partikulárního řešení pro dané prvkové zatížení. Průběhy jsou proto přesné po celé délce prutu.

Transformační matice ​

Transformační matice prvku T\mathbf{T} převádí lokální matici tuhosti do globálního souřadného systému.

T=(cos⁡(α)sin⁡(α)0000−sin⁡(α)cos⁡(α)0000001000000cos⁡(α)sin⁡(α)0000−sin⁡(α)cos⁡(α)0000001)\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos(\alpha) & \sin(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Globální matice tuhosti ​

Globální matice tuhosti Kg\mathbf{K_g} vznikne z transformační matice T\mathbf{T} a lokální matice tuhosti Kl\mathbf{K_l}:

Kg=TT⋅Kl⋅T\mathbf{K_g} = \mathbf{T}^\mathsf{T} \cdot \mathbf{K_l} \cdot \mathbf{T}